מבוא כללי:

• פונקציות של n משתנים, כאשר $n\ge 1$ (בקורס בד"כ n = 2 או n = 3).
• למשל: $f(x,y,z)=x\cdot y\cdot z$

תחום הגדרה של פונקציה:

• נדגים עבור הפונקציה $f(x,y)=\frac{1}{x^2+y^2}$, תחום ההגדרה הטבעי יהיה:
• $\{(x,y)\in R^2|x^2+y^2\ne 0\}=\{(x,y)\in R^2|(x,y)\ne (0,0)\}=R^2\mathrm{\setminus }\{(0,0)\}$

גבול של פונקציה:

• נראה את הגבול של הפונ' $f(x,y)$ בנק' $(x_0,y_0)$.

• נרצה להגדיר: $\underset{(x,y)\to (x_0,y_0)}{lim}f(x,y)=L$.

• נזכיר מחדוא 1 כי הגבול $\underset{x\to x_0}{lim}=L$ מוגדר ע"י:

  • לכל $ϵ>0$ קיימת $\delta >0$ כך שלכל x המקיים $|x-x_0|<\delta$ מתקיים $|f(x)-L|<ϵ$ .

• בפשט: מצליחים לגרום לפונ' f(x) להיות מספיק קרובה ל-L בסביבה מספיק קטנה של $x_0$ ($x_0-\delta ,x_0+\delta$).

• הגדרה:

  • נגיד כי $\underset{(x,y)\to (x_0,y_0)}{lim}f(x,y)=L$ אם לכל $ϵ>0$ קיימת $\delta >0$ כך שלכל (x-y) המקיים $0<\parallel (x,y)-(x_0,y_0)\parallel <\delta$ מתקיים $|f(x,y)-L|<\epsilon$.
  • נשים לב כי הנורמה גדולה מאפס, זאת מכיוון שכאשר היא שווה לאפס מדובר בנק' עצמה ואנחנו מעוניינים רק במתרחש סביב הנק'.

• סימון וטרמינולוגיה:

  • כדור סביב נקודה:
    • עבור מקרה של $(x_0,y_0)$ סביב הנקודה נוצר כדור שהרדיוס שלו הוא $\delta$ ונסמן:
    • $Bal{l}_{\delta }(x_0,y_0)=\{(x,y)|\parallel (x-y)-(x_0,y_0)\parallel <\delta$
    • 
    • הערות:
      • בשביל להגדיר גבול של $f(x,y)$ בנק' $M_0(X_0,Y_0)$ צריך שהיא תהיה מוגדרת בסביבה מנוקבת של $M_0$ כלומר בכדור מנוקב: $Bal{l}_{\delta }(x_0,y_0)=Bal{l}_{\delta }(M_0)\mathrm{\setminus }\{M_0\}$
      • באופן כללי ב-$R^n$ יש את המושג של כדור, ולא רק במימד שאינטואטיבי לנו לחשוב ($R^3$).

• טענה (היינה):

  • מתקיים $\underset{(x,y)\to (x_0,y_0)}{lim}=L$ אם"ם לכל שתי סדרות $a_n\to x_0{b}_n\to y_0$ מתקיים ש $f(a_n,b_n)\to L$
  • לדוגמא:
    • $\underset{(x,y)\to (0,0)}{lim}\frac{x\cdot y}{x^2+y^2}=0$
    • נוכל לראות שעבור $a_n=\frac{1}{n},b_n=0$ אם נציב בפונ' נקבל $f(a_n,b_n)=0$
    • לעומת זאת, אם נשים $a_n=\frac{1}{n},b_n=\frac{1}{n}$ נוכל לראות שכאשר נציב (לא משנה עבור אילו ערכי n), נקבל כי התוצאה היא 0.5.

• מסלול:

  • בחדוא 1:
    • בשביל למצוא גבול היינו יכולים לגשת מימין או משמאל
  • בחדוא 2:
    • ניתן להגיע מהרבה כיוונים (אלכסונים, פרבולות, וכו') ולכן ננקוט בגישת המסלולים.
    • 
  • רעיונית:
    • אם לפונ' יש גבול ב-$M_0$ אז לא משנה על איזה מסלול נלך שמתקרב / מתכנס ל- $M_0$ לפונקציה יהיה את אותו הגבול.
  • פורמלית:
    • מסלול ב-$R^2$ יהיה קבוצה של נק' מהצורה: $\{(x(t),y(t)):t\in [a,b]\}$ כאשר $x(t),y(t)$ פונ' רציפות של משתנה אחד ב $[a,b]$.
  • משפט:
    • יש $\underset{(x,y)\to m_0}{lim}f(x,y)=L$ אם"ם:
    • לכל מסלול $x(t),y(t)$ שעובר בנק' $m_0$ כאשר $t=t_0$ מתקיים $(x(t_0),y(t_0))=m_0$ ומתקיים $\underset{t\to t_0}{lim}f(x(t),y(t))=L$
    • לדוגמא:
      • האם קיים הגבול: $\underset{(x,y)\to (0,0)}{lim}\frac{x\cdot y^2}{x^2+y^4}$ ?
      • ננסה לבחור מסלולים שעוברים ב (0,0).
      • תחילה, ננסה מסלולים שבהם אחד מהערכים הוא אפס:
        • $\underset{t\to 0}{lim}f(t,0)=\underset{t\to 0^{+}}{lim}=0$
      • המסלול שבד"כ נבחר בו אחרי אלו הוא ישר כללי שעובר בנקודה:
        • $\underset{t\to 0}{lim}\frac{t\cdot (at{)}^2}{t^2+(at{)}^2}=\frac{a^2{t}^3}{t^2+a^4{t}^4}=0$
      • לבסוף, ננסה מסלולים אחרים:
        • $\underset{t\to 0}{lim}f(t^2,t)=\frac{t^2\cdot t^2}{t^4+t^4}=0.5$
      • לכן ניתן להסיק שהגבול לא קיים.

• כללי אריתמטיקה:

  • אם $f(x,y),g(x,y)$ מוגדרת בסביבה נקובה של $M_0$.
  • ואם $\underset{x,y\to M_0}{lim}f(x,y)=L_1$ ואם $\underset{x,y\to M_0}{lim}g(x,y)=L_2$
  • אז גם הגבולות הבאים קיימים (מודגם בחיבור אחר רלוונטי גם לחיסור, כפל, וחילוק (רק כאשר $L_2\ne 0$)): $\underset{x,y}{lim}f(x,y)+g(x,y)=L_1+L_2$

• כלים נוספים למציאת גבול:

  • כלל הסנדוויץ':
    • אם $f(x,y),g(x,y),h(x,y)$ מוגדרות בסביבה המנוקבת של $M_0$
    • ואם: $f(x,y)\le g(x,y)\le h(x,y)$ לכל נק' בסביבה.
    • ואם $li{m}_{x,y\to m_0}f(x,y)=\underset{x,y\to m_0}{lim}h(x,y)=L$
    • אז: $\underset{x,y\to m_0}{lim}g(x,y)=L$
  • אפסה כפול חסומה:
    • אם $f(x,y),g(x,y),h(x,y)$ מוגדרות בסביבה המנוקבת של $M_0$
    • ואם $\underset{x,y\to m_0}{lim}f(x,y)=0$
    • וגם $g(x,y)$ חסומה בסביבת $M_0$
    • אז: $\underset{x,y\to m_0}{lim}f(x,y)\cdot g(x,y)=0$